Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AB=a,A{A}'=a\sqrt{2}$. Tính tan của góc giữa đường thẳng ${A}'C$ với mặt phẳng $\left( A{A}'{B}'B \right)$ :
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $1$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $1$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot AB \\
& CB\bot A{A}' \\
& A{A}'\cap AB=A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$.
Suy ra ${A}'B$ là hình chiếu của ${A}'C$ lên mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$.
Do đó: $\left( {A}'C,\left( A{A}'{B}'B \right) \right)=\left( {A}'C,{A}'B \right)=\widehat{B{A}'C}$.
Xét $\Delta {A}'AB$ vuông tại $A$, ta có: ${A}'B=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta {A}'BC$ vuông tại $B$, ta có: $\tan \widehat{B{A}'C}=\dfrac{BC}{{A}'B}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
& CB\bot AB \\
& CB\bot A{A}' \\
& A{A}'\cap AB=A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$.
Suy ra ${A}'B$ là hình chiếu của ${A}'C$ lên mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$.
Xét $\Delta {A}'AB$ vuông tại $A$, ta có: ${A}'B=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta {A}'BC$ vuông tại $B$, ta có: $\tan \widehat{B{A}'C}=\dfrac{BC}{{A}'B}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Đáp án A.