Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $A{A}'=a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $A{B}'$ và $B{C}'$ theo $a$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn $a=1$.
Khi đó ta được tọa độ các điểm $A\left( 0;0;0 \right)$, ${B}'\left( 1;0;\sqrt{2} \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$ và ${C}'\left( 0;1;\sqrt{2} \right)$.
Suy ra: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;0 \right)$, $\overrightarrow{A{B}'}=\left( 1;0;\sqrt{2} \right)$ và $\overrightarrow{B{C}'}=\left( -1;1;\sqrt{2} \right)$ ; $\left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right]=\left( -\sqrt{2};-2\sqrt{2};1 \right)$.
Ta có: $d\left( A{B}',B{C}' \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right] \right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$ hay $d\left( A{B}',B{C}' \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.
Suy ra: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;0 \right)$, $\overrightarrow{A{B}'}=\left( 1;0;\sqrt{2} \right)$ và $\overrightarrow{B{C}'}=\left( -1;1;\sqrt{2} \right)$ ; $\left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right]=\left( -\sqrt{2};-2\sqrt{2};1 \right)$.
Ta có: $d\left( A{B}',B{C}' \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{A{B}'},\overrightarrow{B{C}'} \right] \right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$ hay $d\left( A{B}',B{C}' \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.
Đáp án D.