Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$, $BC=2a$, $A{A}'=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và ${B}'C$.
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
B. $2a$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $B{B}'$. Khi đó $MN\text{ // }{B}'C\Rightarrow {B}'C\text{ // }\left( AMN \right)$.
Ta có $d\left( {B}'C,AM \right)=d\left( {B}'C,(AMN) \right)=d\left( {B}',(AMN) \right)=d\left( B,(AMN) \right)$.
Dựng $BI\bot AM,BH\bot NI$ $\Rightarrow BH\bot \left( AMN \right)$. Do đó $d\left( {B}'C,AM \right)=d\left( B,(AMN) \right)=BH$.
Vì $\Delta ABM$ vuông tại $B$, ta có $BM=\dfrac{BC}{2}=a$ ; $BI=\dfrac{BA.BM}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta BIN$ vuông tại $B$, ta có:
$BN=\dfrac{B{B}'}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $BH=\dfrac{BN.BI}{\sqrt{B{{N}^{2}}+B{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Vậy $d\left( {B}'C,AM \right)=BH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
B. $2a$.
C. $a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$.
Ta có $d\left( {B}'C,AM \right)=d\left( {B}'C,(AMN) \right)=d\left( {B}',(AMN) \right)=d\left( B,(AMN) \right)$.
Dựng $BI\bot AM,BH\bot NI$ $\Rightarrow BH\bot \left( AMN \right)$. Do đó $d\left( {B}'C,AM \right)=d\left( B,(AMN) \right)=BH$.
Vì $\Delta ABM$ vuông tại $B$, ta có $BM=\dfrac{BC}{2}=a$ ; $BI=\dfrac{BA.BM}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta BIN$ vuông tại $B$, ta có:
$BN=\dfrac{B{B}'}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $BH=\dfrac{BN.BI}{\sqrt{B{{N}^{2}}+B{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Vậy $d\left( {B}'C,AM \right)=BH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Đáp án A.