Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $AB=a\sqrt{3},BC=2\text{a},$ đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ một góc $30{}^\circ .$ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
A. $24\pi {{a}^{2}}.$
B. $6\pi {{a}^{2}}.$
C. $4\pi {{a}^{2}}.$
D. $3\pi {{a}^{2}}.$
Trong tam giác ABC, hạ đường cao AH thì $AH\bot \left( B{B}'{C}'C \right).$
Khi đó $\left( \widehat{A{C}';\left( B{B}'{C}'C \right)} \right)=\left( \widehat{A{C}';H{C}'} \right)=\widehat{A{C}'H}=30{}^\circ .$
Ta có : $AH=\dfrac{AH}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}\Rightarrow C{C}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là trung điểm của BC và ${B}'{C}'.$
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là trung điểm I của ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ và bán kính mặt cầu đó là $R=\dfrac{B{C}'}{2}=\dfrac{\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{{{C}'}}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}.$
A. $24\pi {{a}^{2}}.$
B. $6\pi {{a}^{2}}.$
C. $4\pi {{a}^{2}}.$
D. $3\pi {{a}^{2}}.$
Trong tam giác ABC, hạ đường cao AH thì $AH\bot \left( B{B}'{C}'C \right).$
Khi đó $\left( \widehat{A{C}';\left( B{B}'{C}'C \right)} \right)=\left( \widehat{A{C}';H{C}'} \right)=\widehat{A{C}'H}=30{}^\circ .$
Ta có : $AH=\dfrac{AH}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}\Rightarrow C{C}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$
Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là trung điểm của BC và ${B}'{C}'.$
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là trung điểm I của ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ và bán kính mặt cầu đó là $R=\dfrac{B{C}'}{2}=\dfrac{\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{{{C}'}}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án B.