Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Biết $AB=2a,BC=\sqrt{13}a,C{C}'=4a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'B$ và $CE$ bằng
A. $\dfrac{4a}{7}$.
B. $\dfrac{12a}{7}$.
C. $\dfrac{6a}{7}$.
D. $\dfrac{3a}{7}$.
Gọi $F$ là trung điểm của $A{A}'$.
Ta có $\left( \text{CEF} \right)//{A}'B$ nên $d\left( CE,{A}'B \right)=d\left( {A}'B,\left( CEF \right) \right)=d\left( {A}',\left( \text{CEF} \right) \right)=d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)$.
Kẻ $AI\bot CE;AH\bot FI$ thì $AH\bot \left( \text{CEF} \right)$ hay $d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)=AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{49}{36{{a}^{2}}}$.
Suy ra $d\left( CE,{A}'B \right)=d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)=AH=\dfrac{6a}{7}$.
Vậy khoảng cách giữa ${A}'B$ và $CE$ là $\dfrac{6a}{7}$.
A. $\dfrac{4a}{7}$.
B. $\dfrac{12a}{7}$.
C. $\dfrac{6a}{7}$.
D. $\dfrac{3a}{7}$.
Ta có $\left( \text{CEF} \right)//{A}'B$ nên $d\left( CE,{A}'B \right)=d\left( {A}'B,\left( CEF \right) \right)=d\left( {A}',\left( \text{CEF} \right) \right)=d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)$.
Kẻ $AI\bot CE;AH\bot FI$ thì $AH\bot \left( \text{CEF} \right)$ hay $d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)=AH$.
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{49}{36{{a}^{2}}}$.
Suy ra $d\left( CE,{A}'B \right)=d\left( A,\left( \text{CEF} \right) \right)=AH=\dfrac{6a}{7}$.
Vậy khoảng cách giữa ${A}'B$ và $CE$ là $\dfrac{6a}{7}$.
Đáp án C.