Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB=BC=a$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( AC{C}' \right)$ và $\left( A{B}'{C}' \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp ${B}'.AC{C}'{A}'$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $D$ là trung điểm ${A}'{C}'$ thì ta có: ${B}'D\bot \left( AC{C}' \right)$. Khi đó: ${{S}_{AD{C}'}}={{S}_{A{B}'{C}'}}.\cos 60{}^\circ $.
Đặt $A{A}'=x\left( x>0 \right)$. Do các tam giác ${A}'{B}'{C}'$ và $A{A}'{B}'$ vuông nên:
${A}'{C}'=a\sqrt{2};A{B}'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Do ${B}'{C}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$ nên: ${{S}_{A{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{B}'.{B}'{C}'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Do $A{A}'\bot DC$ nên: ${{S}_{AD{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{A}'.D{C}'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.x$
Nên: $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}x=\dfrac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{4}\Leftrightarrow x\sqrt{2}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a$.
Vậy ${{V}_{{B}'.AC{C}'{A}'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đặt $A{A}'=x\left( x>0 \right)$. Do các tam giác ${A}'{B}'{C}'$ và $A{A}'{B}'$ vuông nên:
${A}'{C}'=a\sqrt{2};A{B}'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Do ${B}'{C}'\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$ nên: ${{S}_{A{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{B}'.{B}'{C}'=\dfrac{1}{2}a\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Do $A{A}'\bot DC$ nên: ${{S}_{AD{C}'}}=\dfrac{1}{2}A{A}'.D{C}'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.x$
Nên: $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}x=\dfrac{a\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{4}\Leftrightarrow x\sqrt{2}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a$.
Vậy ${{V}_{{B}'.AC{C}'{A}'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.{{a}^{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.