Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $AB=a\sqrt{3},BC=2\text{a}$, đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ một góc $30{}^\circ $. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
A. $3\pi {{a}^{2}}$
B. $6\pi {{a}^{2}}$
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $24\pi {{a}^{2}}$
Ta có: $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Gọi $M,{M}'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,{B}'{C}'$ và O là trung điểm đoạn $M{M}'$. Do M và ${M}'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC khi đó $\widehat{\left( A{C}',(BC{C}'{B}') \right)}=\widehat{A{C}'H}=30{}^\circ $.
Ta có: $AH=A{C}'.\sin 30{}^\circ =\dfrac{1}{2}A{C}'\Rightarrow A{C}'=2HA$ mà $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $A{C}'=a\sqrt{3}$ do ${C}'{{A}^{2}}={C}'{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow {C}'C=\sqrt{{C}'{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Từ đó suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm là $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy diện tích cần tìm là $S=2\pi {{a}^{2}}$.
A. $3\pi {{a}^{2}}$
B. $6\pi {{a}^{2}}$
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $24\pi {{a}^{2}}$
Ta có: $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Gọi $M,{M}'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,{B}'{C}'$ và O là trung điểm đoạn $M{M}'$. Do M và ${M}'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC khi đó $\widehat{\left( A{C}',(BC{C}'{B}') \right)}=\widehat{A{C}'H}=30{}^\circ $.
Ta có: $AH=A{C}'.\sin 30{}^\circ =\dfrac{1}{2}A{C}'\Rightarrow A{C}'=2HA$ mà $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $A{C}'=a\sqrt{3}$ do ${C}'{{A}^{2}}={C}'{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow {C}'C=\sqrt{{C}'{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Từ đó suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tìm là $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy diện tích cần tìm là $S=2\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án B.