Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A B = A C = a,$ ...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A B = A C = a,

\hat{B A C} = 120^{\circ}

và cạnh bên

A A^{'} = a \sqrt{2} .

Góc giữa hai đường thẳng

A B^{'}

và

B C

bằng
A.

90^{\circ} .

B.

30^{\circ} .

C.

45^{\circ} .

D.

60^{\circ} .

Cách 1:
Gọi

H

là trung điểm của

B C

\Rightarrow \hat{B A H} = 60^{\circ}

. Qua

A

, kẻ

d

song song

B C

.
Kẻ

B K ⊥ d

tại

K

. Khi đó

(A B^{'}, B C) = (A B^{'}, A K) = \hat{B^{'} A K}

.
Vì

\begin{aligned} A K ⊥ B K \\ A K ⊥ B B^{'} \end{aligned}} \Rightarrow A K ⊥ B^{'} K

.
Với

A B^{'} = \sqrt{A B^{2} + B {B^{'}}^{2}} = a \sqrt{3}

và

A K = B H = A B . \sin \hat{B A H} = a . \sin 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Do đó

\cos \hat{B^{'} A K} = \frac{A K}{A B^{'}} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow \hat{B^{'} A K} = 60^{\circ} .

Cách 2:
Vì

B C // B^{'} C^{'}

nên

(A B^{'}, B C) = (A B^{'}, B^{'} C^{'}) = \hat{A B^{'} C^{'}}

.
Ta có:

B^{'} C^{'} = B C = 2 H B = 2 A B . \sin \hat{B A H} = 2 a . \sin 60^{\circ} = 2. a . \frac{\sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}

A B^{'} = \sqrt{A B^{2} + B {B^{'}}^{2}} = a \sqrt{3}

và

A C^{'} = \sqrt{A C^{2} + C {C^{'}}^{2}} = a \sqrt{3}

Nên

Δ A B^{'} C^{'}

đều. Suy ra

\hat{A B^{'} C^{'}} = 60^{\circ}

.

Đáp án D.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB=AC=a,...