Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\dfrac{a}{6}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là
A. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{28}$
C. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{16}$
A. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{28}$
C. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{4}$
D. $\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{16}$
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có $\left( {A}'AM \right)\bot \left( {A}'BC \right)$ theo giao tuyến ${A}'M$.
Trong $\left( {A}'AM \right)$ kẻ $OH\bot {A}'M\left( H\in \text{{A}'}M \right)\Rightarrow OH\bot \left( {A}'BC \right)$.
Suy ra: $d\left( O,({A}'BC) \right)=OH=\dfrac{a}{6};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\Delta {A}'AM\#\Delta \text{OHM}$, suy ra $\dfrac{OH}{{A}'A}=\dfrac{OM}{{A}'M}\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{6}}{{A}'A}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'A}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Thể tích ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
Ta có $\left( {A}'AM \right)\bot \left( {A}'BC \right)$ theo giao tuyến ${A}'M$.
Trong $\left( {A}'AM \right)$ kẻ $OH\bot {A}'M\left( H\in \text{{A}'}M \right)\Rightarrow OH\bot \left( {A}'BC \right)$.
Suy ra: $d\left( O,({A}'BC) \right)=OH=\dfrac{a}{6};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\Delta {A}'AM\#\Delta \text{OHM}$, suy ra $\dfrac{OH}{{A}'A}=\dfrac{OM}{{A}'M}\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{6}}{{A}'A}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'A}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.
Thể tích ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
Đáp án D.