Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ , biết đáy ABC là tam...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng

(A^{'} B C)

bằng

\frac{a}{6}

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

là
A.

\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}

B.

\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{28}

C.

\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}

D.

\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{16}

Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có

(A^{'} A M) ⊥ (A^{'} B C)

theo giao tuyến

A^{'} M

.

Trong

(A^{'} A M)

kẻ

O H ⊥ A^{'} M (H \in {A}' M) \Rightarrow O H ⊥ (A^{'} B C)

.
Suy ra:

d (O, (A^{'} B C)) = O H = \frac{a}{6}; S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
Ta có:

Δ A^{'} A M # Δ OHM

, suy ra

\frac{O H}{A^{'} A} = \frac{O M}{A^{'} M} \Rightarrow \frac{\frac{a}{6}}{A^{'} A} = \frac{\frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{A^{'} A^{2} + A M^{2}}}

\Rightarrow \frac{1}{A^{'} A} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{A^{'} A^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}} \Rightarrow A^{'} A = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Thể tích

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} A = \frac{a \sqrt{6}}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{16}

.

Đáp án D.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, biết đáy ABC là tam...