Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A_{1} B_{1} C_{1}$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

,

A A_{1} = 2 a \sqrt{5}

và

\hat{B A C} = 120^{\circ}

có

A B = a

,

A C = 2 a

. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh

B B_{1}

;

C C_{1}

. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(A_{1} B K)

A.

\frac{a \sqrt{5}}{3}

.
B.

a \sqrt{15}

.
C.

\frac{a \sqrt{15}}{3}

.
D.

\frac{a \sqrt{5}}{6}

.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của

A_{1}

lên

B_{1} C_{1}

.
Khi đó

{\begin{aligned} A_{1} H ⊥ B_{1} C_{1} \\ A_{1} H ⊥ B B_{1} \end{aligned} \Rightarrow A_{1} H ⊥ (B I K)

hay

A_{1} H

là đường cao của tứ diện

A_{1} B I K

.
Ta có

B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos 120^{\circ}} = a \sqrt{7}

Ta có

S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} A_{1} H . B_{1} C_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1} . A_{1} C_{1} . \sin 120^{\circ}

\Leftrightarrow A_{1} H = \frac{A_{1} B_{1} . A_{1} C_{1} . \sin 120^{\circ}}{B_{1} C_{1}} = \frac{a \sqrt{21}}{7}

V_{A_{1} I B K} = \frac{1}{3} S_{Δ B I K} . A_{1} H = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{35}}{2} . \frac{a \sqrt{21}}{7} = \frac{1}{6} a^{3} \sqrt{15}

+) Mặt khác

B K = \sqrt{C K^{2} + C B^{2}} = 2 a \sqrt{3}

,

K A_{1} = \sqrt{C_{1} K^{2} + C_{1} {A_{1}}^{2}} = 3 a

B A_{1} = \sqrt{A B^{2} + A A_{1}^{2}} = a \sqrt{21}

Ta thấy

B K^{2} + K A_{1}^{2} = B A_{1}^{2}

vuông tại K

\Rightarrow Δ A_{1} B K

.vuông tại K

\Rightarrow S_{Δ A_{1} K B} = \frac{1}{2} . K A_{1} . K B = 3 \sqrt{3} a^{2}

+) Ta có

d (I (A_{1} B K)) = \frac{3. V_{I . A_{1} B K}}{S_{Δ A_{1} B K}} = \frac{3. \frac{1}{6} a^{3} \sqrt{15}}{3 a^{2} \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{5}}{6}

Đáp án D.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1...