Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, $A{{A}_{1}}=2a\sqrt{5}$ và $\widehat{BAC}=120{}^\circ $ có $AB=a$, $AC=2a$. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{{B}_{1}}$ ; $C{{C}_{1}}$. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}BK \right)$
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
B. $a\sqrt{15}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của ${{A}_{1}}$ lên ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$.
Khi đó$\left\{ \begin{aligned}
& {{A}_{1}}H\bot {{B}_{1}}{{C}_{1}} \\
& {{A}_{1}}H\bot B{{B}_{1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}H\bot \left( BIK \right) $ hay $ {{A}_{1}}H $ là đường cao của tứ diện $ {{A}_{1}}BIK$.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos 120{}^\circ }=a\sqrt{7}$
Ta có ${{S}_{\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}H.{{B}_{1}}{{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{B}_{1}}.{{A}_{1}}{{C}_{1}}.\sin 120{}^\circ $
$\Leftrightarrow {{A}_{1}}H=\dfrac{{{A}_{1}}{{B}_{1}}.{{A}_{1}}{{C}_{1}}.\sin 120{}^\circ }{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
${{V}_{{{A}_{1}}IBK}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BIK}}.{{A}_{1}}H=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{35}}{2}.\dfrac{a\sqrt{21}}{7}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{15}$
+) Mặt khác $BK=\sqrt{C{{K}^{2}}+C{{B}^{2}}}=2a\sqrt{3}$, $K{{A}_{1}}=\sqrt{{{C}_{1}}{{K}^{2}}+{{C}_{1}}{{A}_{1}}^{2}}=3a$
$B{{A}_{1}}=\sqrt{A{{B}^{2}}+AA_{1}^{2}}=a\sqrt{21}$
Ta thấy $B{{K}^{2}}+KA_{1}^{2}=BA_{1}^{2}$ vuông tại K $\Rightarrow \Delta {{A}_{1}}BK$.vuông tại K $\Rightarrow {{S}_{\Delta {{A}_{1}}KB}}=\dfrac{1}{2}.K{{A}_{1}}.KB=3\sqrt{3}{{a}^{2}}$
+) Ta có $d\left( I\left( {{A}_{1}}BK \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{I.{{A}_{1}}BK}}}{{{S}_{\Delta {{A}_{1}}BK}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
B. $a\sqrt{15}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của ${{A}_{1}}$ lên ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$.
Khi đó$\left\{ \begin{aligned}
& {{A}_{1}}H\bot {{B}_{1}}{{C}_{1}} \\
& {{A}_{1}}H\bot B{{B}_{1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}H\bot \left( BIK \right) $ hay $ {{A}_{1}}H $ là đường cao của tứ diện $ {{A}_{1}}BIK$.
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos 120{}^\circ }=a\sqrt{7}$
Ta có ${{S}_{\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}H.{{B}_{1}}{{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{B}_{1}}.{{A}_{1}}{{C}_{1}}.\sin 120{}^\circ $
$\Leftrightarrow {{A}_{1}}H=\dfrac{{{A}_{1}}{{B}_{1}}.{{A}_{1}}{{C}_{1}}.\sin 120{}^\circ }{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
${{V}_{{{A}_{1}}IBK}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BIK}}.{{A}_{1}}H=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{35}}{2}.\dfrac{a\sqrt{21}}{7}=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{15}$
+) Mặt khác $BK=\sqrt{C{{K}^{2}}+C{{B}^{2}}}=2a\sqrt{3}$, $K{{A}_{1}}=\sqrt{{{C}_{1}}{{K}^{2}}+{{C}_{1}}{{A}_{1}}^{2}}=3a$
$B{{A}_{1}}=\sqrt{A{{B}^{2}}+AA_{1}^{2}}=a\sqrt{21}$
Ta thấy $B{{K}^{2}}+KA_{1}^{2}=BA_{1}^{2}$ vuông tại K $\Rightarrow \Delta {{A}_{1}}BK$.vuông tại K $\Rightarrow {{S}_{\Delta {{A}_{1}}KB}}=\dfrac{1}{2}.K{{A}_{1}}.KB=3\sqrt{3}{{a}^{2}}$
+) Ta có $d\left( I\left( {{A}_{1}}BK \right) \right)=\dfrac{3.{{V}_{I.{{A}_{1}}BK}}}{{{S}_{\Delta {{A}_{1}}BK}}}=\dfrac{3.\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$
Đáp án D.