Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AA' và BB'; đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F'. Thể tích khối đa diện EFA'B'E'F' bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Gọi V1,V2,V3,V4 lần lượt là thể tích các khối $ABC.{A}'{B}'{C}', C.ABEF, C.{C}'{E}'{F}', C{C}'EF{A}'{B}'.$
V là thể tích khối đa diện EFA'B'E'F'.
Ta có:
${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.{E}'{{{F}'}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{3}{{.1.2}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
${{V}_{1}}=A{A}'.{{\left( AB \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}={{1.1}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}CH.AB.AE=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.1.\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
Vậy $V={{V}_{3}}-{{V}_{4}}={{V}_{3}}-\left( {{V}_{1}}-{{V}_{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{12} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Gọi V1,V2,V3,V4 lần lượt là thể tích các khối $ABC.{A}'{B}'{C}', C.ABEF, C.{C}'{E}'{F}', C{C}'EF{A}'{B}'.$
V là thể tích khối đa diện EFA'B'E'F'.
Ta có:
${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}C{C}'.{E}'{{{F}'}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{3}{{.1.2}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
${{V}_{1}}=A{A}'.{{\left( AB \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}={{1.1}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}CH.AB.AE=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.1.\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
Vậy $V={{V}_{3}}-{{V}_{4}}={{V}_{3}}-\left( {{V}_{1}}-{{V}_{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{12} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$
Đáp án D.