Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$. Đường thẳng $A{B}'$ tạo với mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ một góc $30{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ theo $a.$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Ta có
$\left( {B}'{C}'CB \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow AM\bot \left( {B}'{C}'CB \right).$
+) $\widehat{A{B}'M}=30{}^\circ ;AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A{B}'=a\sqrt{3}\Rightarrow B{B}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
+) Thể tích khối lăng trụ $V=B{B}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Ta có
$\left( {B}'{C}'CB \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow AM\bot \left( {B}'{C}'CB \right).$
+) $\widehat{A{B}'M}=30{}^\circ ;AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A{B}'=a\sqrt{3}\Rightarrow B{B}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
+) Thể tích khối lăng trụ $V=B{B}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Đáp án D.