Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy $a$ ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${A}'C$ bằng $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ tính theo $a$ bằng:
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có $AB//{A}'{B}'\Rightarrow AB//\left( {A}'{B}'C \right)\Rightarrow {{d}_{\left( AB,{A}'C \right)}}={{d}_{\left( AB,\left( {A}'{B}'C \right) \right)}}={{d}_{\left( B,\left( {A}'{B}'C \right) \right)}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Đặt $A{A}'=x>0$. Tam giác $C{A}'{B}'$ cân tại $C$, $C{A}'=C{B}'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
Diện tích tam giác $C{A}'{B}'$ là:
${{S}_{C{A}'{B}'}}=\dfrac{1}{2}CH.{A}'{B}'=\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}a.\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{4}a\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}$
Thể tích lăng trụ $V=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \left( 1 \right)$
Lại có $V=3{{V}_{B.{A}'{B}'C}}=3.\dfrac{1}{3}{{d}_{\left( B,\left( {A}'{B}'C \right) \right)}}.{{S}_{{A}'{B}'C}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{1}{4}a.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}$.
Do đó $x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{1}{4}a.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 5x\sqrt{3}=\sqrt{15}.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$.
Vậy $V=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} =\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Đặt $A{A}'=x>0$. Tam giác $C{A}'{B}'$ cân tại $C$, $C{A}'=C{B}'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
Diện tích tam giác $C{A}'{B}'$ là:
${{S}_{C{A}'{B}'}}=\dfrac{1}{2}CH.{A}'{B}'=\dfrac{1}{2}.a.\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{2}a.\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{4}a\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}$
Thể tích lăng trụ $V=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \left( 1 \right)$
Lại có $V=3{{V}_{B.{A}'{B}'C}}=3.\dfrac{1}{3}{{d}_{\left( B,\left( {A}'{B}'C \right) \right)}}.{{S}_{{A}'{B}'C}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{1}{4}a.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}$.
Do đó $x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.\dfrac{1}{4}a.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 5x\sqrt{3}=\sqrt{15}.\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$.
Vậy $V=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} =\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án D.