Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $ABC{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a ; A{A}'=a\sqrt{2}$ (như hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng $A{C}'$ và mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$.
A. $30{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Gọi $M$ là trung điểm ${A}'{B}'$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {C}'M\bot {A}'{B}' \\
& {C}'M\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {C}'M\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $. Suy ra $ M $là hình chiếu của $ {C}' $lên mặt phẳng $ \left( AB{B}'{A}' \right) $. Do đó, $ AM $là hình chiếu của $ A{C}' $lên mặt phẳng $ \left( AB{B}'{A}' \right)$.
$\Rightarrow \left( A{C}' , \left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\left( A{C}' , AM \right)=\widehat{MA{C}'}$.
${C}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ; AM=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}$.
$\tan \widehat{MA{C}'}=\dfrac{M{C}'}{AM}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{MA{C}'}=30{}^\circ $.
A. $30{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Gọi $M$ là trung điểm ${A}'{B}'$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {C}'M\bot {A}'{B}' \\
& {C}'M\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {C}'M\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $. Suy ra $ M $là hình chiếu của $ {C}' $lên mặt phẳng $ \left( AB{B}'{A}' \right) $. Do đó, $ AM $là hình chiếu của $ A{C}' $lên mặt phẳng $ \left( AB{B}'{A}' \right)$.
$\Rightarrow \left( A{C}' , \left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\left( A{C}' , AM \right)=\widehat{MA{C}'}$.
${C}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ; AM=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}$.
$\tan \widehat{MA{C}'}=\dfrac{M{C}'}{AM}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{MA{C}'}=30{}^\circ $.
Đáp án A.