Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$. Chân đường cao hạ từ $B'$ trùng với $O$ của đáy $ABCD$, góc giữa mặt phẳng $\left( BB'C'C \right)$ với đáy bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích lăng trụ bằng
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{2}$.
C. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $6{{a}^{3}}$.
Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a,\widehat{ABC}=60{}^\circ $ $\Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh $2a$ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow AI\bot BC$.
Gọi $K$ là trung điểm của $CI$ $\Rightarrow OK\text{ // }AI$ và $OK=\dfrac{1}{2}AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& AI\text{ // }OK \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow OK\bot CB$.
$\widehat{\left( \left( BC{C}'{B}' \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( {B}'K,OK \right)}=\widehat{{B}'KO}=60{}^\circ $.
Tam giác ${B}'OK$ vuông tại $O$ : ${B}'O=OK.\tan \widehat{{B}'KO}=\dfrac{3a}{2}$.
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={B}'O.{{S}_{ABCD}}=3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{2}$.
C. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $6{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow AI\bot BC$.
Gọi $K$ là trung điểm của $CI$ $\Rightarrow OK\text{ // }AI$ và $OK=\dfrac{1}{2}AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& AI\text{ // }OK \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow OK\bot CB$.
$\widehat{\left( \left( BC{C}'{B}' \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( {B}'K,OK \right)}=\widehat{{B}'KO}=60{}^\circ $.
Tam giác ${B}'OK$ vuông tại $O$ : ${B}'O=OK.\tan \widehat{{B}'KO}=\dfrac{3a}{2}$.
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={B}'O.{{S}_{ABCD}}=3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.