Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc ${{60}^{o}}$ và hình chiếu của A lên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ trùng với trung điểm của $B'C'$. Độ dài đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $B'C'$ bằng
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{3a}{4}$
Gọi K là trung điểm của $B'C'$
Từ K kẻ $KH\bot AA'$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot B'C' \\
& A'K\bot B'C' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( AKA' \right)\Rightarrow B'C'\bot HK$
$\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot HK \\
& KH\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( AA';B'C' \right)=KH$
$\begin{aligned}
& A'K=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; AK=A'K.\tan {{60}^{o}}=\dfrac{3a}{2} \\
& \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\dfrac{A'K.AK}{\sqrt{A'{{K}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{3a}{4} \\
\end{aligned}$
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{3a}{4}$
Gọi K là trung điểm của $B'C'$
Từ K kẻ $KH\bot AA'$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot B'C' \\
& A'K\bot B'C' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( AKA' \right)\Rightarrow B'C'\bot HK$
$\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot HK \\
& KH\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( AA';B'C' \right)=KH$
$\begin{aligned}
& A'K=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; AK=A'K.\tan {{60}^{o}}=\dfrac{3a}{2} \\
& \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}\Leftrightarrow HK=\dfrac{A'K.AK}{\sqrt{A'{{K}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{3a}{4} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.