Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Tang góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) bằng
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. 2.
C. 4.
D. $\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. 2.
C. 4.
D. $\sqrt{2}$.
Cách 1. Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B ta có:
A'H // B'E và $B'E\bot \left( ABC \right)\Rightarrow B'E=A'H=a\sqrt{3}$
Kẻ $EK\bot BC;EF\bot B'K$. Ta có $BC\bot \left( B'EK \right)\Rightarrow BC\bot B'K$.
Khi đó $\left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=\left( B'K,EK \right)=\widehat{B'KE}$.
Xét tam giác KEB vuông tại K và $\widehat{KBE}=60{}^\circ $ ta có $EK=BE\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
Xét tam giác B'EK vuông tại E có $\tan \widehat{B'KE}=\dfrac{B'E}{EK}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=2$
Cách 2. [Phương pháp tọa độ]
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $H\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),A\left( -a;0;0 \right),C\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),A'\left( 0;0;a\sqrt{3} \right)$
Mặt phẳng (ABC): z = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
Mặt phẳng (BCB') có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB'} \right]={{a}^{2}}\sqrt{3}\left( \sqrt{3};1;-1 \right)$.
$\cos \left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \tan \left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=2$
A'H // B'E và $B'E\bot \left( ABC \right)\Rightarrow B'E=A'H=a\sqrt{3}$
Kẻ $EK\bot BC;EF\bot B'K$. Ta có $BC\bot \left( B'EK \right)\Rightarrow BC\bot B'K$.
Khi đó $\left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=\left( B'K,EK \right)=\widehat{B'KE}$.
Xét tam giác KEB vuông tại K và $\widehat{KBE}=60{}^\circ $ ta có $EK=BE\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
Xét tam giác B'EK vuông tại E có $\tan \widehat{B'KE}=\dfrac{B'E}{EK}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=2$
Cách 2. [Phương pháp tọa độ]
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $H\left( 0;0;0 \right),B\left( a;0;0 \right),A\left( -a;0;0 \right),C\left( 0;a\sqrt{3};0 \right),A'\left( 0;0;a\sqrt{3} \right)$
Mặt phẳng (ABC): z = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
Mặt phẳng (BCB') có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB'} \right]={{a}^{2}}\sqrt{3}\left( \sqrt{3};1;-1 \right)$.
$\cos \left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \tan \left( \left( BCC'B' \right),\left( ABC \right) \right)=2$
Đáp án B.