Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại...

Gọi $M$ là trung điểm $B'C'$ và $N$ là hình chiếu của $H$ trên $B'C'.$ Ta có
* $\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot HN \\
& B'C'\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( AHN \right)\Rightarrow B'C'\bot AN.$
* $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AB'C' \right)\cap \left( A'B'C' \right)=B'C' \\
& B'C'\bot HN \\
& B'C'\bot AN \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( \left( A'B'C' \right),\left( AB'C' \right) \right)=\widehat{ANH}={{60}^{0}}$
Ta có $B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}$
$\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ và $AH=HN.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $H$ trùng với $O$ các điểm $B',M,A$ lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz.$
Ta có $H\left( 0;0;0 \right),B'\left( \dfrac{a}{2};0;0 \right),A\left( 0;0;\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right),C'\left( -\dfrac{a}{2};a\sqrt{2};0 \right).$
Gọi $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2Ax-2By-2Cz+D=0$ là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AHB'C'.$ Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& D=0 \\
& 2A\dfrac{a}{2}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}} \\
& 2C.a\dfrac{\sqrt{2}}{2}={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}} \\
& 2A.\left( -\dfrac{a}{2} \right)+2B.a\sqrt{2}={{\left( -\dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=\dfrac{a}{4} \\
& B=\dfrac{5}{4\sqrt{2}} \\
& C=\dfrac{a}{2\sqrt{2}} \\
& D=0 \\
\end{aligned} \right.$
Bán kính $R=\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-D}=\dfrac{a\sqrt{62}}{8}.$