Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại...

Gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $N$ là hình chiếu của $H$ trên $B^{\prime }{C}^{\prime }.$ Ta có
* $\{\begin{array}{rl}& B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }HN\\ & B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }AH\end{array}\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(AHN\right)\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }AN.$
* $\{\begin{array}{rl}& \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)=B^{\prime }{C}^{\prime }\\ & B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }HN\\ & B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }AN\end{array}$
$\Rightarrow (\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right),\left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right))=\widehat{ANH}={60}^0$
Ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }B{{}^{\prime }}^2+A^{\prime }C{{}^{\prime }}^2}=a\sqrt{3}$
${\displaystyle \frac{1}{H{N}^2}}={\displaystyle \frac{1}{H{B}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{H{M}^2}}\Rightarrow HN={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{6}}$ và $AH=HN.\tan {60}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $H$ trùng với $O$ các điểm $B^{\prime },M,A$ lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz.$
Ta có $H(0;0;0),B^{\prime }({\displaystyle \frac{a}{2}};0;0),A(0;0;{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}),C^{\prime }(-{\displaystyle \frac{a}{2}};a\sqrt{2};0).$
Gọi $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0$ là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AH{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$ Ta có
$\{\begin{array}{rl}& D=0\\ & 2A{\displaystyle \frac{a}{2}}={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2\\ & 2C.a{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2\\ & 2A.(-{\displaystyle \frac{a}{2}})+2B.a\sqrt{2}={(-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& A={\displaystyle \frac{a}{4}}\\ & B={\displaystyle \frac{5}{4\sqrt{2}}}\\ & C={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{2}}}\\ & D=0\end{array}$
Bán kính $R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}={\displaystyle \frac{a\sqrt{62}}{8}}.$