Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm cạnh $AB,$ góc giữa $AA'$ và mặt đáy của hình lăng trụ đã cho bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $A'BCC'B'.$
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó $A'H\bot \left( ABC \right).$
$\Rightarrow HA$ là hình chiếu vuông góc của $A'A$ lên $\left( ABC \right)\Rightarrow \angle \left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( A'A;HA \right)=\angle A'AH={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $A'AH$ ta có: $A'H=AH.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Vậy ${{V}_{A'.BCC'B'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó $A'H\bot \left( ABC \right).$
$\Rightarrow HA$ là hình chiếu vuông góc của $A'A$ lên $\left( ABC \right)\Rightarrow \angle \left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( A'A;HA \right)=\angle A'AH={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $A'AH$ ta có: $A'H=AH.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Vậy ${{V}_{A'.BCC'B'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$
Đáp án B.