Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của a xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AB. Mặt bên (AA'C'C) tạo với đáy 1 góc ${{45}^{o}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}$ theo A.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi K, I lần lượt là trung điểm các đoạn AC và AI.
Do tam giác ABC đều nên $BI\bot AC$. HK là đường trung bình của tam giác ABI nên $HK\bot AC$.
Mặt khác ${{A}^{'}}H\bot (ABC)\Rightarrow {{A}^{'}}H\bot AC$.Từ đó $AC\bot ({{A}^{'}}HK)$
Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng $({{A}^{'}}{{A}^{'}}{{C}^{'}}{{C}^{'}})$ là góc $\widehat{{{A}^{'}}HK}\Rightarrow \widehat{{{A}^{'}}HK}={{45}^{0}}$
Tam giác $({{A}^{'}}KH)$ vuông cân tại H $\Rightarrow {{A}^{'}}H=HK=\dfrac{BI}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Mà ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{V}^{'}}}}={{A}^{'H}}.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}}{16}$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi K, I lần lượt là trung điểm các đoạn AC và AI.
Do tam giác ABC đều nên $BI\bot AC$. HK là đường trung bình của tam giác ABI nên $HK\bot AC$.
Mặt khác ${{A}^{'}}H\bot (ABC)\Rightarrow {{A}^{'}}H\bot AC$.Từ đó $AC\bot ({{A}^{'}}HK)$
Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng $({{A}^{'}}{{A}^{'}}{{C}^{'}}{{C}^{'}})$ là góc $\widehat{{{A}^{'}}HK}\Rightarrow \widehat{{{A}^{'}}HK}={{45}^{0}}$
Tam giác $({{A}^{'}}KH)$ vuông cân tại H $\Rightarrow {{A}^{'}}H=HK=\dfrac{BI}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Mà ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{V}^{'}}}}={{A}^{'H}}.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}}{16}$
Đáp án C.