Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình...

Gọi K, I lần lượt là trung điểm các đoạn AC và AI.
Do tam giác ABC đều nên $BI\mathrm{\perp }AC$. HK là đường trung bình của tam giác ABI nên $HK\mathrm{\perp }AC$.
Mặt khác $A^{{}^{\prime }}H\mathrm{\perp }(ABC)\Rightarrow A^{{}^{\prime }}H\mathrm{\perp }AC$.Từ đó $AC\mathrm{\perp }(A^{{}^{\prime }}HK)$
Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng $(A^{{}^{\prime }}{A}^{{}^{\prime }}{C}^{{}^{\prime }}{C}^{{}^{\prime }})$ là góc $\widehat{A^{{}^{\prime }}HK}\Rightarrow \widehat{A^{{}^{\prime }}HK}={45}^0$
Tam giác $(A^{{}^{\prime }}KH)$ vuông cân tại H $\Rightarrow A^{{}^{\prime }}H=HK={\displaystyle \frac{BI}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}$
Mà $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}$.
Vậy $V_{ABC.A^{{}^{\prime }}{B}^{{}^{\prime }}{V}^{{}^{\prime }}}=A^{{}^{\prime }H}.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{3{\text{a}}^3}{16}}$