Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,\ BC=4a,\ AA'$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Góc giữa $\left( AB'C \right)$ và $\left( BB'C \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng:
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Từ $A$ kẻ $AI\bot BC\Rightarrow I$ là trung điểm $BC$.
Ta có $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AI\Rightarrow AI\bot \left( BB'C'C \right)\Rightarrow AI\bot B'C$.
Kẻ $IM\bot B'C$ khi đó $B'C\bot MA$.
$\Rightarrow $ Góc giữa $\left( AB'C \right)$ và $\left( BB'C \right)$ bằng góc $\widehat{AMI}={{60}^{0}}$.
Ta có: $\begin{aligned}
& AI=\dfrac{1}{2}BC=2a;\ IM=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} \\
& \Rightarrow \sin \widehat{MCI}=\dfrac{IM}{IC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \widehat{MCI}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \tan \widehat{MCI}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow BB'=2a\sqrt{2} \\
& \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=8{{a}^{3}}\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Từ $A$ kẻ $AI\bot BC\Rightarrow I$ là trung điểm $BC$.
Ta có $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AI\Rightarrow AI\bot \left( BB'C'C \right)\Rightarrow AI\bot B'C$.
Kẻ $IM\bot B'C$ khi đó $B'C\bot MA$.
$\Rightarrow $ Góc giữa $\left( AB'C \right)$ và $\left( BB'C \right)$ bằng góc $\widehat{AMI}={{60}^{0}}$.
Ta có: $\begin{aligned}
& AI=\dfrac{1}{2}BC=2a;\ IM=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} \\
& \Rightarrow \sin \widehat{MCI}=\dfrac{IM}{IC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \widehat{MCI}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \tan \widehat{MCI}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow BB'=2a\sqrt{2} \\
& \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=8{{a}^{3}}\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.