Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của $A'$ xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của $AB$. Mặt bên $\left( AA'C'C \right)$ hợp với mặt đáy một góc bằng 450. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ theo a.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Phương pháp:
- Tìm góc giữa mặt bên ( ACC' A' ) và mặt đáy: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao của hình lăng trụ dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Áp dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, bán kính đáy Blà V= Bh. .
Cách giải:
Gọi Mlà trung điểm của AB⇒ A' M⊥ ( ABC) ( gt) .
Gọi Nlà trung điểm của AC. Do tam giác ABCđều cạnh anên $BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Kẻ $MH\bot AC(H\in AC)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot 'M\left( A'M\bot \left( ABC \right) \right) \$/I]
& AC\bot MH \$/I]
\end{aligned} \right.$⇒ AC⊥ ( A' MH) ⇒ AC⊥ A' H.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ACC'A' \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& \left( ACC'A' \right)\supset A'H\bot AC \\
& \left( ABC \right)\supset MH\bot AC \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \angle \left( \left( ACC'A' \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( A'H;MH \right)=\angle A'HM={{45}^{0}}$.
Ta có: 'A M⊥ ( ABC) nên 'A M⊥ MH, khi đó tam giác $A'MH$ vuông tại M.
Lại có MHlà đường trung bình của tam giác ABNnên $MH=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
.
$\Rightarrow A'M=MH.\tan {{45}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=~A'M.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$
- Tìm góc giữa mặt bên ( ACC' A' ) và mặt đáy: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao của hình lăng trụ dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Áp dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, bán kính đáy Blà V= Bh. .
Cách giải:
Gọi Mlà trung điểm của AB⇒ A' M⊥ ( ABC) ( gt) .
Gọi Nlà trung điểm của AC. Do tam giác ABCđều cạnh anên $BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Kẻ $MH\bot AC(H\in AC)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot 'M\left( A'M\bot \left( ABC \right) \right) \$/I]
& AC\bot MH \$/I]
\end{aligned} \right.$⇒ AC⊥ ( A' MH) ⇒ AC⊥ A' H.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ACC'A' \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& \left( ACC'A' \right)\supset A'H\bot AC \\
& \left( ABC \right)\supset MH\bot AC \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \angle \left( \left( ACC'A' \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( A'H;MH \right)=\angle A'HM={{45}^{0}}$.
Ta có: 'A M⊥ ( ABC) nên 'A M⊥ MH, khi đó tam giác $A'MH$ vuông tại M.
Lại có MHlà đường trung bình của tam giác ABNnên $MH=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
.
$\Rightarrow A'M=MH.\tan {{45}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=~A'M.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$
Đáp án A.