Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là hình vuông. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,A'C'.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AB'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp ${A}'.ABC$ bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ .
Từ giả thiết ta có $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng và có hai mặt đáy là các tam giác đều.
Gọi K là trung điểm của B’C’ ta có MK // BB’ và NK // A’B’ nên hai mặt phẳng $\left( MNK \right)$ và $\left( ABB'A' \right)$ song song. Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AB'$ chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( MNK \right)$ và $\left( ABB'A' \right)$.
Gọi I là trung điểm của AB, gọi J là trung điểm của BI ta có $MI\parallel CI.$ Do tam giác ABC đều và lăng trụ đã cho đứng nên $CI\bot \left( ABB'A' \right)$ $\Rightarrow MJ\bot \left( ABB'A' \right)$ $\Rightarrow d\left( \left( MNK \right),\left( ABB'A' \right) \right)$ $=d\left( M,\left( ABB'A' \right) \right)=MJ\Rightarrow MJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CI=2MJ=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=2a.$
Ta có ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}AA'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ .
Gọi K là trung điểm của B’C’ ta có MK // BB’ và NK // A’B’ nên hai mặt phẳng $\left( MNK \right)$ và $\left( ABB'A' \right)$ song song. Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AB'$ chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( MNK \right)$ và $\left( ABB'A' \right)$.
Gọi I là trung điểm của AB, gọi J là trung điểm của BI ta có $MI\parallel CI.$ Do tam giác ABC đều và lăng trụ đã cho đứng nên $CI\bot \left( ABB'A' \right)$ $\Rightarrow MJ\bot \left( ABB'A' \right)$ $\Rightarrow d\left( \left( MNK \right),\left( ABB'A' \right) \right)$ $=d\left( M,\left( ABB'A' \right) \right)=MJ\Rightarrow MJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CI=2MJ=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=2a.$
Ta có ${{V}_{{A}'.ABC}}=\dfrac{1}{3}AA'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$.
Đáp án D.
