Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ và M, N là hai điểm lần lượt...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

và M, N là hai điểm lần lượt bên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và

\frac{C M}{C A} = k

. Mặt phẳng

(M N B^{'} A^{'})

chia khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

thành hai phần có thể tích

V_{1}

(phần chứa điểm C) và

V_{2}

sao cho

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2

. Khi đó giá trị của k là:
A.

k = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

B.

k = \frac{1}{2}

C.

k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

D.

k = \frac{\sqrt{3}}{3}

Ta có:

{\begin{aligned} (M N B^{'} A^{'}) \cap (A C C^{'} A^{'}) = A^{'} M \\ (M N B^{'} A^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'}) = B^{'} N \\ (A C C^{'} A^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'}) = C C^{'} \end{aligned} \Rightarrow A^{'} M, B^{'} N, C C^{'}

đồng quy tại S
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\frac{S M}{S A^{'}} = \frac{M N}{A^{'} B^{'}} = \frac{M N}{A B} = \frac{C M}{C A} = k = \frac{S N}{S B^{'}} = \frac{S C}{S C^{'}}

\Rightarrow \frac{V_{S . M N C}}{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{S M}{S A^{'}} . \frac{S N}{S B^{'}} . \frac{S C}{S C^{'}} = k^{3} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}} = 1 - k^{3} \Rightarrow V_{1} = (1 - k^{3}) V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}

Ta có:

\frac{S C}{S C^{'}} = k \Rightarrow \frac{S C^{'} - C C^{'}}{S C^{'}} = k \Leftrightarrow \frac{C C^{'}}{S C^{'}} = 1 - k

\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{\frac{1}{3} S C^{'}}{C C^{'}} = \frac{1}{3 (1 - k)} \Rightarrow V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}{3 (1 - k)}

\Rightarrow V_{1} = (1 - k^{3}) V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}} = (1 - k^{3}) \frac{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}{3 (1 - k)} = \frac{1 + k + k^{2}}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Ta có:

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2 \Leftrightarrow V_{2} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{1 + k + k^{2}}{3} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 1 + k + k^{2} = 2 \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ và M, N là hai điểm lần lượt...