Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Gọi M, N, P lần lượt là các...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

A{A}', B{B}', C{C}'

sao cho

A M = 2 M A^{'}, N B^{'} = 2 N B, P C = P C^{'}

. Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và

A^{'} B^{'} C^{'} M N P

. Tính tỷ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

.
A.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2

B.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}

C.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1

D.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}

Đặt

V = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Ta có

V_{A B C M N P} = V_{P . A B N M} + V_{P . A B C}

mà

V_{P . A B C} = \frac{1}{3} d (P, (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{1}{6} d (C; (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{V}{6}

\frac{S_{A B N M}}{S_{A B B^{'} A^{'}}} = \frac{A M + B N}{A A^{'} + B B^{'}} = \frac{\frac{2}{3} A A^{'} + \frac{1}{3} B B^{'}}{A A^{'} + B B^{'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{P . A B N M} = \frac{1}{2} V_{C . A B B^{'} A^{'}}

Mà

V_{C . A B B^{'} A^{'}} = \frac{2}{3} V

suy ra

V_{P . A B N M} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V = \frac{V}{3}

.
Khi đó

V_{A B C M N P} = \frac{V}{6} + \frac{V}{3} = \frac{V}{2}

.
Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{V}{2} : \frac{V}{2} = 1

.

Đáp án C.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P lần lượt là các...