Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, $B{B}',{A}'{C}'$. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
A. $\dfrac{5}{24}V$
B. $\dfrac{1}{4}V$
C. $\dfrac{7}{24}V$
D. $\dfrac{1}{3}V$
A. $\dfrac{5}{24}V$
B. $\dfrac{1}{4}V$
C. $\dfrac{7}{24}V$
D. $\dfrac{1}{3}V$
Gọi I là trung điểm $AC\Rightarrow NP\cap BI=\left\{ J \right\}$.
Lại có $BP=\dfrac{1}{2}NI$ và $BN\text{ // IP}$ suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.
Suy ra $CM\cap BI=\left\{ G \right\}$ là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: $\dfrac{{{S}_{JCM}}}{{{S}_{BCM}}}=\dfrac{JG}{BG}$ mà $JG=BJ+BG=BI+\dfrac{2}{3}BI=\dfrac{5}{3}BI$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{JCM}}}{{{S}_{BCM}}}=\dfrac{\dfrac{5}{3}BI}{\dfrac{2}{3}BI}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow {{S}_{JCM}}=\dfrac{5}{2}{{S}_{BCM}}\Rightarrow {{S}_{JCM}}=\dfrac{5}{4}.{{S}_{ABC}}$.
Ta có ${{V}_{1}}={{V}_{P.MJC}}=\dfrac{1}{3}h{{\text{S}}_{JMC}}=\dfrac{5}{12}V;{{\text{V}}_{2}}={{V}_{N.MJC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}h{{\text{S}}_{JMC}}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{5}{8}{{S}_{ABC}}=\dfrac{5}{24}V$.
Vậy ${{V}_{P.CMN}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{5}{24}V$.
Lại có $BP=\dfrac{1}{2}NI$ và $BN\text{ // IP}$ suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.
Suy ra $CM\cap BI=\left\{ G \right\}$ là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: $\dfrac{{{S}_{JCM}}}{{{S}_{BCM}}}=\dfrac{JG}{BG}$ mà $JG=BJ+BG=BI+\dfrac{2}{3}BI=\dfrac{5}{3}BI$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{JCM}}}{{{S}_{BCM}}}=\dfrac{\dfrac{5}{3}BI}{\dfrac{2}{3}BI}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow {{S}_{JCM}}=\dfrac{5}{2}{{S}_{BCM}}\Rightarrow {{S}_{JCM}}=\dfrac{5}{4}.{{S}_{ABC}}$.
Ta có ${{V}_{1}}={{V}_{P.MJC}}=\dfrac{1}{3}h{{\text{S}}_{JMC}}=\dfrac{5}{12}V;{{\text{V}}_{2}}={{V}_{N.MJC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}h{{\text{S}}_{JMC}}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{5}{8}{{S}_{ABC}}=\dfrac{5}{24}V$.
Vậy ${{V}_{P.CMN}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{5}{24}V$.
Đáp án A.