Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích bằng V. Gọi M, N...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

B B^{'}, A^{'} C^{'}

. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
A.

\frac{5}{24} V

B.

\frac{1}{4} V

C.

\frac{7}{24} V

D.

\frac{1}{3} V

Gọi I là trung điểm

A C \Rightarrow N P \cap B I = {J}

.
Lại có

B P = \frac{1}{2} N I

và

B N // IP

suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.

Suy ra

C M \cap B I = {G}

là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có:

\frac{S_{J C M}}{S_{B C M}} = \frac{J G}{B G}

mà

J G = B J + B G = B I + \frac{2}{3} B I = \frac{5}{3} B I

\Rightarrow \frac{S_{J C M}}{S_{B C M}} = \frac{\frac{5}{3} B I}{\frac{2}{3} B I} = \frac{5}{2} \Rightarrow S_{J C M} = \frac{5}{2} S_{B C M} \Rightarrow S_{J C M} = \frac{5}{4} . S_{A B C}

.
Ta có

V_{1} = V_{P . M J C} = \frac{1}{3} h S_{J M C} = \frac{5}{12} V; V_{2} = V_{N . M J C} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} h S_{J M C} = \frac{1}{3} . h . \frac{5}{8} S_{A B C} = \frac{5}{24} V

.
Vậy

V_{P . C M N} = V_{1} - V_{2} = \frac{5}{24} V

.

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích bằng V. Gọi M, N...