Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng A. Gọi $M,{M}'$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AC,{A}'{C}'$. Biết $A{M}'=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}v\grave{a}A{M}'\bot BM$.Thể tích hình lăng trụ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Kẻ B'M' ta có $B'M'//BM$ nên $AM'\bot B'M',B'M'\bot A'C'$ do đó $B'M'\bot (AA'M)$
Gọi h là khoảng cách từ A đến mp (A'B'C')
Xét hình chóp $A.A'B'M$ thể tích hình chóp $V=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\Delta A'B'M'}}=\dfrac{1}{3}B'M'.{{S}_{\Delta AA'M'}}$
Ta có ${B}'{M}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{\Delta {B}'{A}'M}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$
Xét $\Delta A{A}'{M}'$ có $A{A}'=a,{A}'{M}'=\dfrac{a}{2},A{M}'=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$. Theo công thức Hêrông, ta có ${{S}_{\Delta AA'M'}}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{2}}$ ( tam giác AA'M' đều)
Từ đó ta được $h=\dfrac{B'M'.{{S}_{\Delta AA'M'}}}{{{S}_{\Delta A'B'M'}}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Thể tích lăng trụ $V=h.{{S}_{\Delta A'B'C'}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi h là khoảng cách từ A đến mp (A'B'C')
Xét hình chóp $A.A'B'M$ thể tích hình chóp $V=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\Delta A'B'M'}}=\dfrac{1}{3}B'M'.{{S}_{\Delta AA'M'}}$
Ta có ${B}'{M}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{\Delta {B}'{A}'M}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$
Xét $\Delta A{A}'{M}'$ có $A{A}'=a,{A}'{M}'=\dfrac{a}{2},A{M}'=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$. Theo công thức Hêrông, ta có ${{S}_{\Delta AA'M'}}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{2}}$ ( tam giác AA'M' đều)
Từ đó ta được $h=\dfrac{B'M'.{{S}_{\Delta AA'M'}}}{{{S}_{\Delta A'B'M'}}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Thể tích lăng trụ $V=h.{{S}_{\Delta A'B'C'}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$
Đáp án C.