Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh AA' hợp với mặt phẳng đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ tính theo a bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$
Gọi AI là đường cao, H là tâm của tam giác ABC $\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\cap \left( ABC \right)=A \\
& {A}'H\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ góc giữa AA' và (ABC) là $ \widehat{{A}'AH}\Rightarrow \widehat{{A}'AH}=45{}^\circ $
Ta có: $AI=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}, AH=\dfrac{2}{3}AI=a\sqrt{3}, {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{\left( 3a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${A}'H=AH.\tan 45{}^\circ =AH=a\sqrt{3}$
Thể tích của lăng trụ là: $V={A}'H.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{6}$
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& A{A}'\cap \left( ABC \right)=A \\
& {A}'H\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ góc giữa AA' và (ABC) là $ \widehat{{A}'AH}\Rightarrow \widehat{{A}'AH}=45{}^\circ $
Ta có: $AI=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}, AH=\dfrac{2}{3}AI=a\sqrt{3}, {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{\left( 3a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${A}'H=AH.\tan 45{}^\circ =AH=a\sqrt{3}$
Thể tích của lăng trụ là: $V={A}'H.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$
Đáp án D.