Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh A. Hình chiếu vuông góc của điểm ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $\text{A{A}'}$ và BC bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính theo a thể tích V của khối chóp ${A}'.B{B}'{C}'C$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'G \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot AA'$
Kẻ $MH\bot AA'$ tại $H$, suy ra $MH$ là đoạn vuông góc chung của giữa hai đường thẳng $AA$ và $BC$
Tam giác $MHA$ vuông tại $H$ có $AH=\sqrt{A{{M}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{3}{4}a$
Tam giác $A'GA$ đồng dạng tam giác $MHA$ nên $\dfrac{A'G}{MH}=\dfrac{GA}{HA}\Rightarrow A'G=\dfrac{MH.GA}{HA}=\dfrac{a}{3}$
Thể tích khối lăng trụ là $V={{S}_{ABC}}.A'G=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'G \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot AA'$
Kẻ $MH\bot AA'$ tại $H$, suy ra $MH$ là đoạn vuông góc chung của giữa hai đường thẳng $AA$ và $BC$
Tam giác $MHA$ vuông tại $H$ có $AH=\sqrt{A{{M}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{3}{4}a$
Tam giác $A'GA$ đồng dạng tam giác $MHA$ nên $\dfrac{A'G}{MH}=\dfrac{GA}{HA}\Rightarrow A'G=\dfrac{MH.GA}{HA}=\dfrac{a}{3}$
Thể tích khối lăng trụ là $V={{S}_{ABC}}.A'G=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
Đáp án B.