Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình thoi có ${B}'BC$ là góc nhọn, mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc với $\left( ABC \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
Ta có $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
AC=a\sqrt{3} \\
AB=a \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( ABC \right)$, kẻ ${B}'H\bot BC$ với $BC=\left( ABC \right)\cap \left( BC{C}'{B}' \right)$ $\Rightarrow {B}'H\bot \left( ABC \right)$.
Trong $\left( ABC \right)$, kẻ $HE\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( HE{B}' \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( HE{B}' \right)\bot \left( ABC \right) \\
\left( HE{B}' \right)\bot \left( AB{B}'{A}' \right) \\
HE=\left( HE{B}' \right)\cap \left( ABC \right) \\
E{B}'=\left( HE{B}' \right)\bot \left( AB{B}'{A}' \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( ABC \right),\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\left( HE,E{B}' \right)=\widehat{HE{B}'}=45{}^\circ $.
Suy ra tam giác $HE{B}'$ vuông cân tại $H$ nên $HE=H{B}'=x$.
Do $HE \text{//} AC$ nên $\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{EH}{AC}\Leftrightarrow BH=BC\dfrac{EH}{AC}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $B{{{B}'}^{2}}=B{{H}^{2}}+H{{{B}'}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{4a}{\sqrt{7}}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=H{B}'\dfrac{1}{2}AC.AB=\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
AC=a\sqrt{3} \\
AB=a \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( ABC \right)$, kẻ ${B}'H\bot BC$ với $BC=\left( ABC \right)\cap \left( BC{C}'{B}' \right)$ $\Rightarrow {B}'H\bot \left( ABC \right)$.
Trong $\left( ABC \right)$, kẻ $HE\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( HE{B}' \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( HE{B}' \right)\bot \left( ABC \right) \\
\left( HE{B}' \right)\bot \left( AB{B}'{A}' \right) \\
HE=\left( HE{B}' \right)\cap \left( ABC \right) \\
E{B}'=\left( HE{B}' \right)\bot \left( AB{B}'{A}' \right) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( ABC \right),\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\left( HE,E{B}' \right)=\widehat{HE{B}'}=45{}^\circ $.
Suy ra tam giác $HE{B}'$ vuông cân tại $H$ nên $HE=H{B}'=x$.
Do $HE \text{//} AC$ nên $\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{EH}{AC}\Leftrightarrow BH=BC\dfrac{EH}{AC}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $B{{{B}'}^{2}}=B{{H}^{2}}+H{{{B}'}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{4a}{\sqrt{7}}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=H{B}'\dfrac{1}{2}AC.AB=\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
Đáp án C.