Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,BC=2a$ và góc $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình thoi có $\widehat{{B}'BC}$ nhọn, mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc mặt phẳng $\left( ABC \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& HN\bot AB; B'N\bot AB\Rightarrow \left( \left( ABB'A' \right),\left( ABC \right) \right)=\left( HN,B'N \right)=\widehat{B'NH}={{45}^{0}} \\
& \Rightarrow HN=B'H\Rightarrow B'N=B'H.\sqrt{2} \\
& \Delta HBN\Rightarrow BN=HN.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{B'H}{\sqrt{3}} \\
& \Delta B'NN\Rightarrow B'{{B}^{2}}=B'{{N}^{2}}+B{{N}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}={{\left( B'H.\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{B'H}{\sqrt{3}} \right)}^{2}} \\
& \Rightarrow B'H=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \\
& \Delta ABC\Rightarrow AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a \\
& \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \\
& {{V}_{ABC,A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B'H=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\dfrac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
$\begin{aligned}
& HN\bot AB; B'N\bot AB\Rightarrow \left( \left( ABB'A' \right),\left( ABC \right) \right)=\left( HN,B'N \right)=\widehat{B'NH}={{45}^{0}} \\
& \Rightarrow HN=B'H\Rightarrow B'N=B'H.\sqrt{2} \\
& \Delta HBN\Rightarrow BN=HN.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{B'H}{\sqrt{3}} \\
& \Delta B'NN\Rightarrow B'{{B}^{2}}=B'{{N}^{2}}+B{{N}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}={{\left( B'H.\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{B'H}{\sqrt{3}} \right)}^{2}} \\
& \Rightarrow B'H=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \\
& \Delta ABC\Rightarrow AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a \\
& \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \\
& {{V}_{ABC,A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B'H=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.