Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A, $AB=AC=2a.$ Hình chiếu vuông góc của B′ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng $A{B}'$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc $45{}^\circ .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{C}'$ bằng
A. $2a.$
B. $a.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
A. $2a.$
B. $a.$
C. $\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow {B}'H\bot \left( ABC \right)$.
Ta có $C{C}'\text{ // B{B}'}\Rightarrow \text{C{C}' // }\left( AB{B}' \right)$
$\Rightarrow d\left( C{C}';AB \right)=d\left( C;(AB{B}') \right)=2\text{d}\left( H;(AB{B}') \right)=2h$.
$\Delta ABC$ cân tại A có H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\bot HB$.
Như vậy HA, HB, $H{B}'$ đôi một vuông góc với nhau
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{{{B}'}}^{2}}}$.
$\widehat{\left( A{B}';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{HA{B}'}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta HA{B}'$ vuông cân tại H
$\Rightarrow H{B}'=HA=HB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow h=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow d\left( C{C}';AB \right)=2a\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
Ta có $C{C}'\text{ // B{B}'}\Rightarrow \text{C{C}' // }\left( AB{B}' \right)$
$\Rightarrow d\left( C{C}';AB \right)=d\left( C;(AB{B}') \right)=2\text{d}\left( H;(AB{B}') \right)=2h$.
$\Delta ABC$ cân tại A có H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\bot HB$.
Như vậy HA, HB, $H{B}'$ đôi một vuông góc với nhau
$\Rightarrow \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{{{B}'}}^{2}}}$.
$\widehat{\left( A{B}';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{HA{B}'}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta HA{B}'$ vuông cân tại H
$\Rightarrow H{B}'=HA=HB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow h=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow d\left( C{C}';AB \right)=2a\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án C.