Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông cân tại A,

A B = A C = 2 a .

Hình chiếu vuông góc của B′ trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng

A B^{'}

tạo với mặt phẳng

(A B C)

một góc

45^{\circ} .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

A B

và

C C^{'}

bằng
A.

2 a .

B.

a .

C.

\frac{2 a \sqrt{6}}{3} .

D.

\frac{a \sqrt{6}}{3} .

Gọi H là trung điểm của

B C \Rightarrow B^{'} H ⊥ (A B C)

.

Ta có

C C^{'} // B{B}' \Rightarrow C{C}' // (A B B^{'})

\Rightarrow d (C C^{'}; A B) = d (C; (A B B^{'})) = 2 d (H; (A B B^{'})) = 2 h

.

Δ A B C

cân tại A có H là trung điểm của

B C \Rightarrow A H ⊥ H B

.
Như vậy HA, HB, $H B^{'}$ đôi một vuông góc với nhau

\Rightarrow \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{H A^{2}} + \frac{1}{H B^{2}} + \frac{1}{H {B^{'}}^{2}}

.

\hat{(A B^{'}; (A B C))} = \hat{H A B^{'}} = 45^{0} \Rightarrow Δ H A B^{'}

vuông cân tại H

\Rightarrow H B^{'} = H A = H B = \frac{B C}{2} = \frac{A B \sqrt{2}}{2} = \frac{2 a \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}

\Rightarrow h = a \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow d (C C^{'}; A B) = 2 a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3} .

Đáp án C.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác...