Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Biết tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình thoi có $\widehat{{B}'BC}$ nhọn. Biết $\left(BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc với $\left(ABC \right)$ và $\left(AB{B}'{A}' \right)$ tạo với $\left(ABC \right)$ góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\frac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
C. $\frac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ ${B}'$ của tam giác ${B}'BC$. Do góc $\widehat{{B}'BC}$ là góc nhọn nên $H$ thuộc cạnh $BC$. $\left( BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ suy ra ${B}'H$ là đường cao của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
$BC{C}'{B}'$ là hình thoi suy ra $B{B}'=BC=2a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ suy ra $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, do tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $HK\text{//}AC$ $\Rightarrow \frac{BK}{BA}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BH=2BK$.
Khi đó mặt phẳng $\left( {B}'HK \right)$ vuông góc với $AB$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{{B}'KH}$. Theo giả thiết, $\widehat{{B}'KH}=45{}^\circ \Rightarrow {B}'K=h\sqrt{2}$, với ${B}'H=h$.
Xét tam giác vuông ${B}'BH$ có ${B}'{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}={B}'{{B}^{2}}$ hay ${{h}^{2}}+4B{{K}^{2}}=4{{a}^{2}}\left( 1 \right)$.
Xét tam giác vuông ${B}'BK:{B}'{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}={B}'{{B}^{2}}$ hay $2{{h}^{2}}+B{{K}^{2}}=4{{a}^{2}}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $h=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng $V={{S}_{ABC}}.h=\frac{1}{2}AB.BC.h=\frac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
A. $\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
B. $\frac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
C. $\frac{6{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
D. $\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{7}}$.
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ ${B}'$ của tam giác ${B}'BC$. Do góc $\widehat{{B}'BC}$ là góc nhọn nên $H$ thuộc cạnh $BC$. $\left( BC{C}'{B}' \right)$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ suy ra ${B}'H$ là đường cao của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
$BC{C}'{B}'$ là hình thoi suy ra $B{B}'=BC=2a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ suy ra $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, do tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $HK\text{//}AC$ $\Rightarrow \frac{BK}{BA}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BH=2BK$.
Khi đó mặt phẳng $\left( {B}'HK \right)$ vuông góc với $AB$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{{B}'KH}$. Theo giả thiết, $\widehat{{B}'KH}=45{}^\circ \Rightarrow {B}'K=h\sqrt{2}$, với ${B}'H=h$.
Xét tam giác vuông ${B}'BH$ có ${B}'{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}={B}'{{B}^{2}}$ hay ${{h}^{2}}+4B{{K}^{2}}=4{{a}^{2}}\left( 1 \right)$.
Xét tam giác vuông ${B}'BK:{B}'{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}={B}'{{B}^{2}}$ hay $2{{h}^{2}}+B{{K}^{2}}=4{{a}^{2}}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $h=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng $V={{S}_{ABC}}.h=\frac{1}{2}AB.BC.h=\frac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{7}}$.
Đáp án B.