Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh a, $A{A}'=\dfrac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc ${A}'$ lên $\left( ABC \right)$ là trung điểm $BC$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}.$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{\dfrac{3}{2}}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}.$
Gọi H là trung điểm BC $\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow {A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Vậy thể tích cần tính là $V=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
$\Rightarrow {A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}$
Vậy thể tích cần tính là $V=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án D.