Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $A{A}'=\dfrac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $\left( ABC \right)$ là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
D. $V={{a}^{3}}$
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}$
C. $V={{a}^{3}}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
D. $V={{a}^{3}}$
Ta có: $AH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'H=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow V={A}'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
$\Rightarrow V={A}'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Đáp án B.