Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=BC=a$, $\widehat{ABC}=120{}^\circ $ và góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $O$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AC=3AO$ biết hình chiếu vuông góc của điểm ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thoả mãn $\overrightarrow{OH}=-2\overrightarrow{OB}$ (minh hoạ như hình vẽ bên). Thể tích khối đa diện $HABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}.$
D. $3{{a}^{3}}.$
Dễ thấy ABCH là hình thang có:
$\widehat{HCB}=60{}^\circ ; HC=2AB=2a$. Gọi I là hình chiếu của H trên BC, khi đó ta có: $HI=a\sqrt{3}$
$\tan \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\dfrac{{A}'H}{HI}\Leftrightarrow \sqrt{3}=\dfrac{{A}'H}{HI}\Leftrightarrow {A}'H=3a$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'H=\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin 120{}^\circ .{A}'H=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
${{v}_{H.AC{C}'{A}'}}=2{{V}_{B.AC{C}'{A}'}}=2.\dfrac{2}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{HABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{5}.$
D. $3{{a}^{3}}.$
Dễ thấy ABCH là hình thang có:
$\widehat{HCB}=60{}^\circ ; HC=2AB=2a$. Gọi I là hình chiếu của H trên BC, khi đó ta có: $HI=a\sqrt{3}$
$\tan \left( \left( {A}'BC \right),\left( ABC \right) \right)=\dfrac{{A}'H}{HI}\Leftrightarrow \sqrt{3}=\dfrac{{A}'H}{HI}\Leftrightarrow {A}'H=3a$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'H=\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin 120{}^\circ .{A}'H=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
${{v}_{H.AC{C}'{A}'}}=2{{V}_{B.AC{C}'{A}'}}=2.\dfrac{2}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{HABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.