Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm $H$ của $B C$. Tính khoảng cách $h$ giữa 2 đường thẳng $A A^{\prime}$ và $B C$.
A. $h=\dfrac{3 a}{2}$.
B. $h=\dfrac{3 a}{4}$.
C. $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2} a$.
D. $h=\dfrac{\sqrt{3}}{4} a$.
Dựng hình bình hành $A B C D$. Khi đó $B C / /\left(A^{\prime} A D\right) \Rightarrow d\left(A A^{\prime}, B C\right)=d\left(B C,\left(A^{\prime} A D\right)\right)$.
Kẻ $H K \perp A A^{\prime}\left(K \in A A^{\prime}\right)$.
Ta có $\left.\begin{array}{c}B C \perp A H \\ B C \perp A^{\prime} H\end{array}\right\} \Rightarrow B C \perp\left(A^{\prime} A H\right) \Rightarrow B C \perp H K$.
Suy ra $H K \perp\left(A^{\prime} A D\right), d\left(B C,\left(A^{\prime} A D\right)\right)=H K$.
$
\begin{aligned}
& A H=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}, A^{\prime} H=\sqrt{A^{\prime} A^2-A H^2}=\dfrac{a}{2} . \\
& \dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{A H^2}+\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{3 a^2}=\dfrac{16}{3 a^2} \Rightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4} .
\end{aligned}
$
A. $h=\dfrac{3 a}{2}$.
B. $h=\dfrac{3 a}{4}$.
C. $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2} a$.
D. $h=\dfrac{\sqrt{3}}{4} a$.
Kẻ $H K \perp A A^{\prime}\left(K \in A A^{\prime}\right)$.
Ta có $\left.\begin{array}{c}B C \perp A H \\ B C \perp A^{\prime} H\end{array}\right\} \Rightarrow B C \perp\left(A^{\prime} A H\right) \Rightarrow B C \perp H K$.
Suy ra $H K \perp\left(A^{\prime} A D\right), d\left(B C,\left(A^{\prime} A D\right)\right)=H K$.
$
\begin{aligned}
& A H=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}, A^{\prime} H=\sqrt{A^{\prime} A^2-A H^2}=\dfrac{a}{2} . \\
& \dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{A H^2}+\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{3 a^2}=\dfrac{16}{3 a^2} \Rightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4} .
\end{aligned}
$
Đáp án D.