Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC}=120{}^\circ ,AA'=4a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và BB'.
A. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $a\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
Ta có $\left( A'AC \right)$ là mặt phẳng chứa $A'C$ và song song với $BB'$.
$\Rightarrow d\left( BB',A'C \right)=d\left( B,\left( AA'C \right) \right).$
Gọi O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow BO\bot AC.$
Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng nên
$AA'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AA'\bot BO$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BO\bot AC \\
& BO\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BO\bot \left( AA'C \right)\Rightarrow d\left( B,\left( AA'C \right) \right)=BO.$
Hình thoi ABCD có $\widehat{ABC}=120{}^\circ \Rightarrow $ ABC là tam giác đều
$\Rightarrow BD=AB=a\Rightarrow BO=\dfrac{a}{2}.$
Vậy $d\left( BB',A'C \right)=d\left( B,\left( AA'C \right) \right)=BO=\dfrac{a}{2}$.
A. $\dfrac{a}{\sqrt{3}}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $a\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
Ta có $\left( A'AC \right)$ là mặt phẳng chứa $A'C$ và song song với $BB'$.
$\Rightarrow d\left( BB',A'C \right)=d\left( B,\left( AA'C \right) \right).$
Gọi O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow BO\bot AC.$
Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng nên
$AA'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AA'\bot BO$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BO\bot AC \\
& BO\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BO\bot \left( AA'C \right)\Rightarrow d\left( B,\left( AA'C \right) \right)=BO.$
Hình thoi ABCD có $\widehat{ABC}=120{}^\circ \Rightarrow $ ABC là tam giác đều
$\Rightarrow BD=AB=a\Rightarrow BO=\dfrac{a}{2}.$
Vậy $d\left( BB',A'C \right)=d\left( B,\left( AA'C \right) \right)=BO=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án D.