Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có $AA'=2,$ đáy $ABCD$ là hình thoi với $ABC$ là tam giác đều cạnh 4. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $B'C',C'D',DD'$ và $Q$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $QC=3QB$. Tính thể tích tứ diện $MNPQ$.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$
B. $3\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Từ $Q$ kẻ $QI\bot B'C',$ từ $P$ kẻ $PH//QM$, kéo dài $MN$ cắt đường thẳng $A'D'$ tại $K,$ như hình vẽ.
Theo giả thiết $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 suy ra: ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{3}.$
Dễ thấy $\Delta QIM\backsim \Delta PD'H$ nên $\dfrac{IM}{D'H}=\dfrac{QI}{PD'}=2\Rightarrow D'H=\dfrac{1}{2}IM=\dfrac{1}{8}B'C'=\dfrac{1}{8}A'D'.$
Mà $D'K=\dfrac{1}{2}A'D'$ suy ra
$KH=D'K-D'H=\dfrac{3}{8}A'D'\Rightarrow {{S}_{\Delta MNH}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta MKH}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{8}{{S}_{\Delta MD'A'}}=\dfrac{3}{16}{{S}_{\Delta MD'A}}=\dfrac{3}{16}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{QMNP}}={{V}_{QMNH}}=\dfrac{1}{3}QI.{{S}_{\Delta MNH}}=\dfrac{1}{3}.2.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$
B. $3\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Từ $Q$ kẻ $QI\bot B'C',$ từ $P$ kẻ $PH//QM$, kéo dài $MN$ cắt đường thẳng $A'D'$ tại $K,$ như hình vẽ.
Theo giả thiết $ABC$ là tam giác đều cạnh 4 suy ra: ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{3}.$
Dễ thấy $\Delta QIM\backsim \Delta PD'H$ nên $\dfrac{IM}{D'H}=\dfrac{QI}{PD'}=2\Rightarrow D'H=\dfrac{1}{2}IM=\dfrac{1}{8}B'C'=\dfrac{1}{8}A'D'.$
Mà $D'K=\dfrac{1}{2}A'D'$ suy ra
$KH=D'K-D'H=\dfrac{3}{8}A'D'\Rightarrow {{S}_{\Delta MNH}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta MKH}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{8}{{S}_{\Delta MD'A'}}=\dfrac{3}{16}{{S}_{\Delta MD'A}}=\dfrac{3}{16}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{QMNP}}={{V}_{QMNH}}=\dfrac{1}{3}QI.{{S}_{\Delta MNH}}=\dfrac{1}{3}.2.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án D.