Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $A{A}'=3a$ và đường chéo $A{C}'=5a$. Tính thể tích $V$ của khối khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ theo $a$.
A. $V={{a}^{3}}$.
B. $V=24{{a}^{3}}$.
C. $V=8{{a}^{3}}$.
D. $V=4{{a}^{3}}$.
Ta có $A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}+A{{{A}'}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}-A{{{A}'}^{2}}={{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 3a \right)}^{2}}=16{{a}^{2}}\Rightarrow AB=2a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=3a.{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}=24{{a}^{3}}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$ $=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}$ $=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $V={{a}^{3}}$.
B. $V=24{{a}^{3}}$.
C. $V=8{{a}^{3}}$.
D. $V=4{{a}^{3}}$.
Ta có $A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}+A{{{A}'}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}-A{{{A}'}^{2}}={{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 3a \right)}^{2}}=16{{a}^{2}}\Rightarrow AB=2a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=3a.{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}=24{{a}^{3}}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$ $=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}$ $=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.