Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAD}=60{}^\circ $, $A{B}'$ hợp với đáy $\left( ABCD \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích của khối hộp là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Ta có $A{B}'\cap \left( ABCD \right)=\left\{ A \right\}$ và $B{B}'\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( AB',\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( A{B}',AB \right)}=\widehat{{B}'AB}=30{}^\circ $
Ta có $\tan \widehat{{B}'AB}=\dfrac{B{B}'}{AB}\Rightarrow B{B}'=AB.\tan \widehat{{B}'AB}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Mà ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Ta có $A{B}'\cap \left( ABCD \right)=\left\{ A \right\}$ và $B{B}'\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( AB',\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( A{B}',AB \right)}=\widehat{{B}'AB}=30{}^\circ $
Ta có $\tan \widehat{{B}'AB}=\dfrac{B{B}'}{AB}\Rightarrow B{B}'=AB.\tan \widehat{{B}'AB}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
Mà ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.