Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A{A}'=2$, đáy $ABCD$ là hình thoi với $ABC$ là tam giác đều cạnh $4.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của ${B}'{C}',{C}'{D}',D{D}'$ và $Q$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $QC=3QB.$ Tính thể tích tứ diện $MNPQ.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. n $3\sqrt{3}$.
Lấy $K\in CD: KC=3KD\Rightarrow KQ \text{//} BD \text{//} MN$ $\Rightarrow d\left( Q,\left( PMN \right) \right)=d\left( K,\left( PMN \right) \right)$..
$\Rightarrow {{V}_{Q.PMN}}={{V}_{K.PMN}}={{V}_{M.PKN}}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta PKN}}={{S}_{DC{C}'{D}'}}-{{S}_{\Delta DKP}}-{{S}_{\Delta PN{D}'}}-{{S}_{KC{C}'N}}$
$=4.2-\dfrac{1}{2}.1.1-\dfrac{1}{2}.1.2-\dfrac{1}{2}.\left( 2+3 \right).2=\dfrac{3}{2}$.
Vì $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)\bot \left( DC{C}'{D}' \right)={C}'{D}'$ và $M\in \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$
$\Rightarrow d\left( M,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=d\left( M,{C}'{D}' \right)=d\left( M,{A}'{B}' \right) \left( \text{do} {A}'{B}'\text{//}{C}'{D}' \right)$.
Lại có ${{S}_{\Delta {A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{2}d\left( M,{A}'{B}' \right).{A}'{B}'\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.{A}'{B}'.{B}'M.\sin {B}'=\dfrac{1}{2}.d\left( M,{A}'{B}' \right).{A}'{B}'$.
$\Leftrightarrow d\left( M,{A}'{B}' \right)={B}'M.\sin {B}'=2.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3}$.
Vậy thể tích của khối tứ diện $MNPQ$ là:
${{V}_{MNPQ}}={{V}_{M.PKN}}=\dfrac{1}{3}.d\left( M,{A}'{B}' \right).{{S}_{\Delta PKN}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. n $3\sqrt{3}$.
Lấy $K\in CD: KC=3KD\Rightarrow KQ \text{//} BD \text{//} MN$ $\Rightarrow d\left( Q,\left( PMN \right) \right)=d\left( K,\left( PMN \right) \right)$..
$\Rightarrow {{V}_{Q.PMN}}={{V}_{K.PMN}}={{V}_{M.PKN}}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta PKN}}={{S}_{DC{C}'{D}'}}-{{S}_{\Delta DKP}}-{{S}_{\Delta PN{D}'}}-{{S}_{KC{C}'N}}$
$=4.2-\dfrac{1}{2}.1.1-\dfrac{1}{2}.1.2-\dfrac{1}{2}.\left( 2+3 \right).2=\dfrac{3}{2}$.
Vì $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)\bot \left( DC{C}'{D}' \right)={C}'{D}'$ và $M\in \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$
$\Rightarrow d\left( M,\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=d\left( M,{C}'{D}' \right)=d\left( M,{A}'{B}' \right) \left( \text{do} {A}'{B}'\text{//}{C}'{D}' \right)$.
Lại có ${{S}_{\Delta {A}'{B}'M}}=\dfrac{1}{2}d\left( M,{A}'{B}' \right).{A}'{B}'\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.{A}'{B}'.{B}'M.\sin {B}'=\dfrac{1}{2}.d\left( M,{A}'{B}' \right).{A}'{B}'$.
$\Leftrightarrow d\left( M,{A}'{B}' \right)={B}'M.\sin {B}'=2.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3}$.
Vậy thể tích của khối tứ diện $MNPQ$ là:
${{V}_{MNPQ}}={{V}_{M.PKN}}=\dfrac{1}{3}.d\left( M,{A}'{B}' \right).{{S}_{\Delta PKN}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án C.