Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 40, độ dài đường chéo bằng ${5\sqrt 2 }$. Tìm thể tích lớn nhất ${{V_{\max }}}$ của khối hộp chữ nhật đó.
A. ${{V_{\max }} = \dfrac{{500}}{{27}}}$.
B. ${1000}$.
C. ${{V_{\max }} = \dfrac{{1000}}{{27}}}$.
D. ${{V_{\max }} = \dfrac{{1000}}{9}}$.
A. ${{V_{\max }} = \dfrac{{500}}{{27}}}$.
B. ${1000}$.
C. ${{V_{\max }} = \dfrac{{1000}}{{27}}}$.
D. ${{V_{\max }} = \dfrac{{1000}}{9}}$.
Gọi $a,b,c\left( a,b,c>0 \right)$ là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có $4\left( a+b+c \right)=40\Leftrightarrow a+b+c=10\left( 1 \right)$
Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật là $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=5\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=50$
Ta có $ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\left( {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left( 10050 \right)=25\left( 2 \right)$
Thể tích hình hộp chữ nhật là V = abc (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a, b, c là nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t-V=0$
Ta có $a+b+c=10\Leftrightarrow a+b=10-\text{ c}$
và $ab+c\left( a+b \right)=25\Rightarrow 25\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}+c\left( 10-c \right)\Rightarrow 25\le \dfrac{{{\left( 10-c \right)}^{2}}}{4}+c\left( 10-c \right)$
$\Rightarrow 3{{c}^{2}}-20\le 0\Rightarrow 0\le c\le \dfrac{20}{3}$ kết hợp điều kiện ta có $0\le c\le \dfrac{20}{3}$ Do vai trò của a, b, c như nhau nên
$\Leftrightarrow V={{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25$
Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất của V để phương trình có nghiệm ${{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t-V=0$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t$ ta có $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=5 \\
& t=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy dựa vào bảng biến thiên giá trị lớn nhất ${{V}_{\max }}=\dfrac{500}{27}$ đạt dduocj khi $a=b=\dfrac{5}{3};c=\dfrac{20}{3}$ và các hoán vị của nó.
Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật là $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=5\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=50$
Ta có $ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}\left( {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left( 10050 \right)=25\left( 2 \right)$
Thể tích hình hộp chữ nhật là V = abc (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a, b, c là nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t-V=0$
Ta có $a+b+c=10\Leftrightarrow a+b=10-\text{ c}$
và $ab+c\left( a+b \right)=25\Rightarrow 25\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}+c\left( 10-c \right)\Rightarrow 25\le \dfrac{{{\left( 10-c \right)}^{2}}}{4}+c\left( 10-c \right)$
$\Rightarrow 3{{c}^{2}}-20\le 0\Rightarrow 0\le c\le \dfrac{20}{3}$ kết hợp điều kiện ta có $0\le c\le \dfrac{20}{3}$ Do vai trò của a, b, c như nhau nên
$\Leftrightarrow V={{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25$
Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất của V để phương trình có nghiệm ${{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t-V=0$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{3}}-10{{t}^{2}}+25t$ ta có $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=5 \\
& t=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy dựa vào bảng biến thiên giá trị lớn nhất ${{V}_{\max }}=\dfrac{500}{27}$ đạt dduocj khi $a=b=\dfrac{5}{3};c=\dfrac{20}{3}$ và các hoán vị của nó.
Đáp án A.