Cho hình hợp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài...

Giả sử a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
Tổng diện tích các mặt là $2\left( ab+bc+ca \right).$
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 2\left( ab+bc+ca \right)=36 \\
& \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& ab+bc+ca=18 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=36 \\
\end{aligned} \right..$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V = abc.
Ta có ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)=72\Rightarrow a+b+c=6\sqrt{2}.$
Ta có ${{\left( b+c \right)}^{2}}\ge 4bc\Leftrightarrow {{\left( 6\sqrt{2}-a \right)}^{2}}\ge 4\left[ 18-a\left( 6\sqrt{2}-a \right) \right]\Leftrightarrow 0\le a\le 4\sqrt{2}.$
Khi đó $V=abc=a\left[ 18-a\left( b+c \right) \right]=a\left[ 18-a\left( 6\sqrt{2}-a \right) \right]={{a}^{3}}-6\sqrt{2}{{a}^{2}}+18a$
Xét hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}-6\sqrt{2}{{a}^{2}}+18a$ với $a\in \left( a;4\sqrt{2} \right],$ ta được $\underset{\left( 0;4\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=f\left( 4\sqrt{2} \right)=8\sqrt{2}.$