Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có mặt ABCD là hình vuông...

Lời giải

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD.
Đặt $AB=x\Rightarrow BC=x;AA'=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}~$
$A'B=A'D=\sqrt{{{\left( \dfrac{x\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{10}}{2}\Rightarrow $ $\Delta A'BD$ cân $A'O\bot BD$
$C'B=C'D=\sqrt{{{\left( \dfrac{x\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{10}}{2}\Rightarrow \Delta C'BD$ cân $\Rightarrow C'O\bot BD$
$\begin{aligned}
& +\left( A'BD \right)\cap \left( C'BD \right)=BD \\
& A'O\bot BD,A'O\subset \left( A'BD \right) \\
& C'O\bot BD,C'O\subset \left( C'BD \right) \\
\end{aligned}$
⇒góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)$ và $\left( C'BD \right)$ bằng góc giữa $A'Ov\grave{a}C'O.$
+ Tính $\widehat{A'OC'}$
$A'O=C'O=\sqrt{A'{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{x\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=x\sqrt{2}$
$A'C'=x\sqrt{2}$
$\Rightarrow \Delta A'OC'$ đều $\Rightarrow \widehat{A'OC'}={{60}^{0}}.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( 'A BD ) và ( 'C BD ) bằng 60 0 .
Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ để tìm góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BD \right)v\grave{a}\left( C'BD \right).$