Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a\sqrt{2},AD=a$ và $AA'=a\sqrt{3}.$ Gọi M là trung điểm của cạnh $\text{AB}$. Thể tích khối tứ diện $A'C'DM$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ sao cho $D'\left( 0;0;0 \right),A'\left( a;0;0 \right),C'\left( 0;a\sqrt{2};0 \right),D\left( 0;0;a\sqrt{3} \right)$
Suy ra $M\left( a;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{3} \right)$
Ta có $A'D=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a,A'C'=a\sqrt{3},DC'=a\sqrt{5}\Rightarrow {{S}_{\Delta A'C'D}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}$
Phương trình mặt phẳng $\left( A'C'D \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a\sqrt{2}}+\dfrac{z}{a\sqrt{3}}=1\Rightarrow {{d}_{\left( M,\left( A'C'D \right) \right)}}=\dfrac{\left| 1+\dfrac{1}{2}+1-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}}}=\dfrac{3a\sqrt{66}}{22}$
Vậy ${{V}_{A'C'DM}}=\dfrac{1}{3}.{{d}_{\left( M,\left( A'C'D \right) \right)}}.{{S}_{\Delta A'C'D}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{66}}{22}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ sao cho $D'\left( 0;0;0 \right),A'\left( a;0;0 \right),C'\left( 0;a\sqrt{2};0 \right),D\left( 0;0;a\sqrt{3} \right)$
Suy ra $M\left( a;\dfrac{a\sqrt{2}}{2};a\sqrt{3} \right)$
Ta có $A'D=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a,A'C'=a\sqrt{3},DC'=a\sqrt{5}\Rightarrow {{S}_{\Delta A'C'D}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}$
Phương trình mặt phẳng $\left( A'C'D \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a\sqrt{2}}+\dfrac{z}{a\sqrt{3}}=1\Rightarrow {{d}_{\left( M,\left( A'C'D \right) \right)}}=\dfrac{\left| 1+\dfrac{1}{2}+1-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}}}=\dfrac{3a\sqrt{66}}{22}$
Vậy ${{V}_{A'C'DM}}=\dfrac{1}{3}.{{d}_{\left( M,\left( A'C'D \right) \right)}}.{{S}_{\Delta A'C'D}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{66}}{22}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Đáp án C.