Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=3,BC=2,AD'=\sqrt{5}.$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$ Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( AID'...

Phương pháp:
- Chứng minh $d\left( A';\left( AD'I \right) \right)=d\left( D;\left( AD'I \right) \right)$.
- Trong $\left( ABCD \right)$ dựng $DM\bot AI,$ trong $\left( DD'M \right)$ dựng $DH\bot D'M\left( H\in D'M \right),$ chứng minh $d\left( D;\left( AD'I \right) \right)=DH.$
- Sử dụng diện tích tam giác tính $DM.$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $DH.$
Cách giải:

Gọi $O=AD'\cap A'D\Rightarrow I=A'D\cap \left( AD'I \right).$
Do đó $\dfrac{d\left( A'\left( AD'I \right) \right)}{d\left( D;\left( AD'I \right) \right)}=\dfrac{OA'}{OD}=1\Rightarrow d\left( A';\left( AD'I \right) \right)=d\left( D;\left( AD'I \right) \right)$.
Trong $\left( ABCD \right)$ dựng $DM\bot AI,$ trong $\left( DD'M \right)$ dựng $DH\bot D'M\left( H\in D'M \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot DM \\
& AI\bot DD' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( DD'M \right)\Rightarrow AI\bot DH$
$\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot D'M \\
& DH\bot AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot \left( AD'I \right)\Rightarrow d\left( D;\left( AD'I \right) \right)=DH$
Ta có
${{S}_{ADI}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABI}}-{{S}_{CDI}}$
$=AB.BC-\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}BC-\dfrac{1}{2}CD.\dfrac{1}{2}BC$
$=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.3.2=3$
Lại có ${{S}_{ADI}}=\dfrac{1}{2}DM.AI\Rightarrow DM=\dfrac{2{{S}_{ADI}}}{AI}=\dfrac{2.3}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{I}^{2}}}}=\dfrac{6}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$
Áp dụng định lí Pytago: $DD'=\sqrt{AD{{'}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{5-4}=1.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $DD'M$ có: $DH=\dfrac{DD'.DM}{\sqrt{DD{{'}^{2}}+D{{M}^{2}}}}=\dfrac{1.\dfrac{6}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1+\dfrac{18}{5}}}=\dfrac{3\sqrt{46}}{23}.$
Vậy $d\left( A';\left( AD'I \right) \right)=\dfrac{3\sqrt{46}}{23}.$