Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = B C = a$ và...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = B C = a

và

C C^{'} = 2 a

. Gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm của cạnh

B C

và

A A^{'}

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

B^{'} D^{'}

và

M N

bằng
A.

\frac{5 a \sqrt{17}}{17}

.
B.

\frac{5 a \sqrt{17}}{68}

.
C.

\frac{3 a \sqrt{17}}{68}

.
D.

\frac{3 a \sqrt{17}}{76}

.

Cách 1. Gọi

P

là trung điểm

C D

,

I = M P \cap A D

,

J = I N \cap D D^{'}

,

K = A C \cap M P

.

Ta có

M P // B D \Rightarrow M P // B^{'} D^{'} \Rightarrow d (B^{'} D^{'}; M N) = d [B^{'} D^{'}; (M N P)] = d [D^{'}; (M N P)]

.
Lại có

d [D^{'}; (M N P)] = \frac{D^{'} J}{D J} d [D; (M N P)] = 5

.
Mặt khác

d [D; (M N P)] = \frac{D I}{A I} d [A; (M N P)] = \frac{1}{3} d [A; (M N P)]

.
Dễ thấy

{\begin{aligned} (N A K) ⊥ (M N P) \\ (N A K) \cap (M N P) = A K \\ A H ⊥ N K (H \in N K) trong (N A K) \end{aligned} \Rightarrow A H ⊥ (M N P) \Rightarrow d [A; (M N P)] = A H

.
Suy ra

d (M N; B^{'} D^{'}) = \frac{5}{3} d [A; (M N P)] = \frac{5}{3} A H

với

A N = \frac{A A^{'}}{2} = a

;

A K = \frac{3}{4} \sqrt{2} A B = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}

.
Vậy

d (M N; B^{'} D^{'}) = \frac{5}{3} A H = \frac{5}{3} . \frac{A N . A K}{\sqrt{A N^{2} + A K^{2}}} = \frac{5}{3} . \frac{\frac{3 a \sqrt{2}}{4} . a}{\sqrt{{(\frac{3 a \sqrt{2}}{4})}^{2} + a^{2}}} = \frac{5 a \sqrt{17}}{17}

.
Cách 2. Đặt các trục

O x

,

O y

và

O z

vào hình như sau

Chọn

a = 2

, ta có

M (1; 2; 0)

,

N (0; 0; 2)

,

B^{'} (0; 2; 4)

và

D^{'} (2; 0; 4)

.
Ta có

\vec{M N} = (- 1; - 2; 2)

,

\vec{B^{'} D^{'}} = (2; - 2; 0)

và

\vec{M B^{'}} = (- 1; 0; 4)

\Rightarrow

[\vec{M N}, \vec{B^{'} D^{'}}] = (4; 4; 6)

.
Khi đó

d (M N; B^{'} D^{'}) = \frac{| [\vec{M N}; \vec{B^{'} D^{'}}] . \vec{M B^{'}} |}{| [\vec{M N}; \vec{B^{'} D^{'}}] |} = \frac{| (- 1) .4 + 0.4 + 4.6 |}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10 \sqrt{17}}{17} = \frac{5 a \sqrt{17}}{17}

.

Đáp án A.

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = B C = a$ và...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=BC=a và...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = B C = a$ và...