Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'C\prime D\prime $ có diện tích các mặt $ABCD$, $BCC\prime B\prime $, $CDD\prime C\prime $ lần lượt là $2{{a}^{2}}$, $3{{a}^{2}}$, $6{{a}^{2}}$. Góc giữa đường thẳng $B{D}'$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\alpha $
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
Đặt $AB=x; AD=y;C{C}'=z$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& xy=2{{a}^{2}} \\
& yz=3{{a}^{2}} \\
& xz=6{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2a \\
& y=a \\
& z=3a \\
\end{aligned} \right.$
Góc giữa đường thẳng $B{D}'$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng góc $\widehat{B{D}'{B}'}=\alpha $
$\tan \alpha =\dfrac{B{B}'}{{B}'{D}'}=\dfrac{z}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{3a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
& xy=2{{a}^{2}} \\
& yz=3{{a}^{2}} \\
& xz=6{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2a \\
& y=a \\
& z=3a \\
\end{aligned} \right.$
Góc giữa đường thẳng $B{D}'$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng góc $\widehat{B{D}'{B}'}=\alpha $
$\tan \alpha =\dfrac{B{B}'}{{B}'{D}'}=\dfrac{z}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\dfrac{3a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
Đáp án B.