Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$, có $AB=a,AD=a\sqrt{2}$, góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $30{}^\circ $. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên ${A}'B$ và $K$ là hình chiều vuông góc của $A$ trên ${A}'D$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $AB{B}'{A}'$.
A. $45{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Dễ thấy $BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right)$.(*)
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AH\bot {A}'B(gt) \\
& AH\bot BC(BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right)) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow AH\bot {A}'C$. (1)
$\left. \begin{aligned}
& AK\bot {A}'D(gt) \\
& AK\bot CD(CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AK\bot \left( {A}'DC \right)\Rightarrow AK\bot {A}'C$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'C\bot \left( AHK \right)$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AHK \right) \right)=\left( BC,{A}'C \right)=\widehat{BC{A}'}$.(3)
Lại có $\left( {A}'C,\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'C,AC \right)=\widehat{{A}'CA}$ ( vì ${A}'A\bot \left( ABCD \right)$ ) nên $\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta {A}'AC$ vuông tại $A$ có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $
nên ${A}'C=\dfrac{AC}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2a$.
Xét $\Delta BC{A}'$ vuông tại $B$ nên có $\cos \widehat{BC{A}'}=\dfrac{BC}{{A}'C}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{BC{A}'}=45{}^\circ $. (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AHK \right) \right)=45{}^\circ $.
A. $45{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $90{}^\circ $.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AH\bot {A}'B(gt) \\
& AH\bot BC(BC\bot \left( AB{B}'{A}' \right)) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)\Rightarrow AH\bot {A}'C$. (1)
$\left. \begin{aligned}
& AK\bot {A}'D(gt) \\
& AK\bot CD(CD\bot \left( AD{D}'{A}' \right)) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AK\bot \left( {A}'DC \right)\Rightarrow AK\bot {A}'C$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'C\bot \left( AHK \right)$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AHK \right) \right)=\left( BC,{A}'C \right)=\widehat{BC{A}'}$.(3)
Lại có $\left( {A}'C,\left( ABCD \right) \right)=\left( {A}'C,AC \right)=\widehat{{A}'CA}$ ( vì ${A}'A\bot \left( ABCD \right)$ ) nên $\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta {A}'AC$ vuông tại $A$ có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $\widehat{{A}'CA}=30{}^\circ $
nên ${A}'C=\dfrac{AC}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2a$.
Xét $\Delta BC{A}'$ vuông tại $B$ nên có $\cos \widehat{BC{A}'}=\dfrac{BC}{{A}'C}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{BC{A}'}=45{}^\circ $. (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AHK \right) \right)=45{}^\circ $.
Đáp án A.